Bonjour pourriez-vous m'aidez pour ce DM maths niveau 1ère Le but de ce problème japonais appelé Sangaku est de déterminer le rayon r des petits cercles. La co
Mathématiques
titouanj2111
Question
Bonjour pourriez-vous m'aidez pour ce DM maths niveau 1ère
Le but de ce problème japonais appelé Sangaku est de déterminer le rayon r des petits cercles.
La courbe est la parabole d’équation y = 2x^2.
• Ω est l’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite (ΩA)
xΩ = 0 et les coordonnées de Ω vont vérifier une équation de la droite (ΩA).
• Le cercle de centre Ω passant par A admet pour tangente en A la meme tangente que la parabole en A. On rappelle que la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point
Pour déterminer une équation de la droite (ΩA), nous allons utiliser le point A(a,2a^2) un vecteur normal qui est un vecteur directeur de la tangente à la parabole en A, vu que cette tangente est orthogonale à (ΩA)
• La distance ΩA et l’ordonnée yΩ de Ω peuvent s’exprimer en fonction de r
ΩA = 4r yΩ = 6r.
Nous avons trois inconnues, yΩ,a et r et trois équations. Nous devons supprimer en priorité yΩ et a afin de calculer r.
Merci d'avance
Le but de ce problème japonais appelé Sangaku est de déterminer le rayon r des petits cercles.
La courbe est la parabole d’équation y = 2x^2.
• Ω est l’intersection de l’axe des ordonnées avec la droite (ΩA)
xΩ = 0 et les coordonnées de Ω vont vérifier une équation de la droite (ΩA).
• Le cercle de centre Ω passant par A admet pour tangente en A la meme tangente que la parabole en A. On rappelle que la tangente à un cercle en un point est perpendiculaire au rayon en ce point
Pour déterminer une équation de la droite (ΩA), nous allons utiliser le point A(a,2a^2) un vecteur normal qui est un vecteur directeur de la tangente à la parabole en A, vu que cette tangente est orthogonale à (ΩA)
• La distance ΩA et l’ordonnée yΩ de Ω peuvent s’exprimer en fonction de r
ΩA = 4r yΩ = 6r.
Nous avons trois inconnues, yΩ,a et r et trois équations. Nous devons supprimer en priorité yΩ et a afin de calculer r.
Merci d'avance
1 Réponse
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1. Réponse caylus
Réponse :
Bonsoir,
Explications étape par étape
La parabole a pour équation y=2x².
Soit A le point de la parabole d'abscisse a
A=(a,2a²)
I le centre du grand cercle a pour coordonnée (0,6r)
B=(0,2r)
Equation de la tangente à la parabole en A:
y'=4x
m=y'(a)=4a
Equation de la normale en A:
m'=-1/(4a)
y-2a²=(x-a)*(-1/4a)
y=-x/4a+1/4+2a²
Coordonnée du point I:
x=0, y=2a²+1/4 =6r ==> a²=(24r-1)/8
IA²=(a-0)²+(2a²-(2a²+1/4))²=a²+1/16
IB²=(6r)²=36r²=a²+1/16
36r²=(24r-1)/8+1/16
256r²-48r+1=0
[tex]r=\dfrac{48-16*\sqrt{5}} {2*256} =\dfrac{3-\sqrt{5}}{32} \ non\ valable\\\\\ ou \ x=\dfrac{3+\sqrt{5}}{32}\approx{0.1636271242....}\\\\x=[/tex]
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