Bonjour, pouvez m'aider pour cet exercice en maths svp c'est pour un dm que je dois rendre demain Soit la fonction f définie sur R par : [tex]f (x) =\frac{cos x

Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape

1)

les fonctions cosinus et sinus sont des fonctions 2π-périodiques

de ce fait, f est 2π-périodique

pour tout x réel f(x+2π)=f(x)

2)

pour tout x réel

[tex]f(-x) = \frac{cos(-x)}{3+sin^2(-x)}[/tex]

or cos(-x)=sin(x) et

[tex](sin(-x))^2 = (-sinx)^2 = sin^2(x)[/tex]

donc f(-x)=f(x)

De ce fait, nous pouvons nous contenter d'étudier f sur [0;π]

3)

f est dérivable sur [0;π]

c'est de la forme [tex]\frac{u}{v}[/tex] avec u(x) = cosx et [tex]v(x)=3+sin^2x[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{u'v-uv'}{v^2}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{-sin(x) ( 3+sin^2(x) -cos(x)(2sinxcosx}{(3+sin^2x)^2}[/tex]

[tex]f'(x) = \frac{-3sin(x)-sin^3(x) -2sinxcos^2x}{(3+sin^2x)^2}[/tex]

Or comme [tex]cos^2x+sin^2x=1, cos^2x=1-sin^2x[/tex]

et[tex]\ -3sin(x)-sin^3(x) -2sinxcos^2x = -3sinx-sin^3x-2sinx+2sin^3[/tex]

[tex]= sin^3x-5sinx = sinx(sin^2x-5)[/tex] donc

[tex]f'(x) = \frac{sinx(sin^2x-5)}{(3+sin^2x)^2}[/tex]

sinx > 0 pour 0 < x < π

[tex]sin^2x < 1[/tex]

[tex]sin^2x - 5 < 0[/tex] donc f est décroissante sur [0;π]

f(0) = 1/3

f(π) = -1/3

5)

comme f est paire, elle est croissante sur [-π;0]