Bonsoir, quelqu'un sait comment tracer cette courbe paramétrée : ( 2cos(t)-cos(2t) , 2sin(t)-sin(2t) ) ? Je ne veux pas connaitre sa forme seulement, je veux  a

Bonjour,

[tex]\left\{\begin{matrix}x(t)=2\cos(t)-\cos(2t)\\y(t)=2\sin(t)-\sin(2t)\end{matrix}\right.[/tex]

Les fonctions x et y sont définies sur R et sont périodiques de période 2π.
Nous les étudierons sur un intervalle de longueur 2π, soit [-π;π].

x(-t) = x(t) et y(-t) = -y(t) ==> nous étudierons la fonction sur l'intervalle [0;π] et utiliserons la symétrie du graphique par rapport à l'axe Ox.

Dérivées :

[tex]x'(t)=-2\sin(t)+2\sin(2t)\\\\x'(t)=-2[\sin(t)-\sin(2t)]\\\\x'(t)=-2[2\sin(-\dfrac{t}{2})\cos(\dfrac{3t}{2})]\\\\x'(t)=4\sin(\dfrac{t}{2})\cos(\dfrac{3t}{2})[/tex]

[tex]y'(t)=2\cos(t)-2\cos(2t)\\\\y'(t)=2[\cos(t)-\cos(2t)]\\\\y'(t)=2[-2\sin(\dfrac{3t}{2})\sin(-\dfrac{t}{2})]\\\\y'(t)=4\sin(\dfrac{3t}{2})\sin(\dfrac{t}{2})[/tex]

Dans [0;π],  x'(t) = 0 si t = 0 ou t = π/3
                   y'(t) = 0 si t = 0 ou t = 2π/3.

D'où, la courbe admet un point singulier si t = 0.

[tex]\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\dfrac{4\sin(\dfrac{3t}{2})\sin(\dfrac{t}{2})}{4\sin(\dfrac{t}{2})\cos(\dfrac{3t}{2})}\\\\\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\dfrac{\sin(\dfrac{3t}{2})}{\cos(\dfrac{3t}{2})}\\\\\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\tan(\dfrac{3t}{2})}[/tex]

[tex]\lim\limits_{t\to0}\dfrac{y'(t)}{x'(t)}=\lim\limits_{t\to0}(\tan(\dfrac{3t}{2})})=0[/tex]

Tableau de variations :

[tex]\begin{array}{|c|ccccccc||}t&0&&\dfrac{\pi}{3}&&\dfrac{2\pi}{3}&&\pi\\ x'(t)&0&+&0&-&-&-&\\ x(t)&1&\nearrow&\dfrac{3}{2}&\searrow&\searrow&\searrow&-3\\ y'(t)&0&+&+&+&0&-&\\ y(t)&0&\nearrow&\nearrow&\nearrow&\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\approx2,6&\searrow&0 \\\end{array}[/tex]

Courbe en pièce jointe.

On remarque d’abord que les deux fonctions x et y sont 2π-périodiques (on a noté
x(t) =2cost−cos2t
et
y(t) = 2sint−sin2t).
On peut donc restreindre l’intervalle d’étude à [−π,π].
De plus,x(−t) =x(t) alors que y(−t) =−y(t).
On peut donc restreindre l’intervalle d’étude à [0,π], puis effectuer une symétrie par rapport à l’axe(Ox). Les fonctions x et y sont de classe C∞ sur IR.
Leurs dérivées sont :
x'(t) =−2(sin(t)−sin(2t)) = 4sin(t/2)cos(3t/2)
y'(t) = 2(cos(t)−cos(2t)) = 4sin(3t/2)sin(t/2)

On remarque alors que x' est positive sur [0,π/3], et négative sur [π/3,π].
De même,y' est positive sur [0,2π/3], et négative sur [2π/3,π].
On en déduit le tableau de variations suivant

voir annexe ...

Il y a un point stationnaire en t= 0
Pour déterminer la tangente en ce point, on étudie
y'(t)/x'(t)=sin(3t/2)/cos(3t/2)→0

Il y a donc une tangente horizontale en ce point (par symétrie de la courbe par rapport à l’axe (Ox), on sait même qu’on a affaire à un point de rebroussement de première espèce). Il y a par ailleurs une tangente verticale au point(−3,0), correspondant à t=π.
 On obtient donc le tracé :

voir annexe .....  C'est une Cardioïde