Bonjour j'aurais besoin d'aide pour cet exo sur les suite !! AIDEZ-MOI  SVP !!! exo en doc joint

Bonsoir,

Partie A

1) En utilisant l'inégalité de Bernoulli avec x = 1, nous avons : [tex](1+1)^n\ge1+n[/tex], soit [tex]2^n\ge1+n[/tex]
Or  [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}(1+n)=+\infty[/tex]
Donc  [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty[/tex]

2) En utilisant l'inégalité de Bernoulli avec x = 1 et en remplaçant n par 2^n, nous avons:
[tex](1+1)^{2^n}\ge1+2^n[/tex], soit  [tex]2^{2^n}\ge1+2^n[/tex]
Or [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}2^n=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(1+2^n)=+\infty[/tex]
Donc[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}2^{2^n}=+\infty[/tex]

Partie B
1) f(x) = x - x²
f '(x) = 1 - 2x
Tableau de signes de f '(x) et variations de f.
Racine de f '(x) : 1-2x=0 ==> 2x=1
                                   ==> x = 1/2

[tex]\begin{array}{|c|ccccc||}x&-\infty&&\dfrac{1}{2}&&+\infty\\ f'(x)=1-2x&&+&0&-&\\ f(x)&&\nearrow&\dfrac{1}{4}&\searrow& \\\end{array}[/tex]

2) [tex]u_{n+1}-u_n=f(u_n)-u_n\\u_{n+1}-u_n=(u_n-u_n^2)-u_n\\u_{n+1}-u_n=u_n-u_n^2-u_n[/tex]
[tex]u_{n+1}-u_n=-u_n^2\le0[/tex] (opposé d'un carré ==> négatif ou nul)
[tex]u_{n+1}\le u_n[/tex]
Par conséquent la suite (Un) est décroissante.

3) a) Initialisation
[tex]u_0=-2\\\\-2^{2^0}=-2^1=-2\\\\\Longrightarrow u_0\le-2^{2^0}[/tex]

Hérédité
Si [tex]u_n\le-2^{2^n}[/tex], montrons que  [tex]u_{n+1}\le-2^{2^{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=u_n-u_n^2 \\\\u_n\le-2^{2^n}\Longrightarrow u_n^2\ge(2^{2^n})^2\\\Longrightarrow u_n^2\ge2^{2^n\times2}\\\Longrightarrow u_n^2\ge2^{2^{n+1}}\\\Longrightarrow -u_n^2\le -2^{2^{n+1}}\\\\\left\{\begin{matrix}u_n\le-2^{2^n}\\ -u_n^2\le -2^{2^{n+1}}\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow u_n-u_n^2\le -2^{2^n}-2^{2^{n+1}}\le-2^{2^{n+1}} [/tex]
Par conséquent    [tex]u_{n+1}\le-2^{2^{n+1}}[/tex]

L'hérédité étant vérifiée pour toutes les valeurs de n∈N, nous avons bien  [tex]u_{n}\le-2^{2^{n}}[/tex]

b)  [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}2^{2^{n}}=+\infty\Longrightarrow \lim\limits_{n\to+\infty}(-2^{2^{n}})=-\infty[/tex]
En utilisant l'inégalité du 3a), nous en déduisons que [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=-\infty[/tex]

c) Utilisons l'inégalité  [tex]u_{n}\le-2^{2^{n}}[/tex] et cherchons la valeur de n1 telle que [tex]-2^{2^{n_1}}\le-10^{10}[/tex]
Par la calculatrice, nous pouvons voir que l'inégalité est vraie pour [tex]n_1=6[/tex]

d) Algorithme pour Algobox.

variables
  n est du type nombre
  u est du type nombre
  x est du type nombre
Début algorithme
  u prend la valeur -2
  n prend la valeur 0
  Tant que (u>=-pow(10,10)) Faire
      Début Tant que 
      u prend la valeur u-u*u
      Afficher u
      n prend la valeur n+1
      Fin Tant que
  Afficher "N="
  Afficher n
Fin Algorithme


4) a) Initialisation
[tex]u_0=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow u_0\le\dfrac{1}{2}[/tex]

b) Hérédité
Si [tex]u_n\le\dfrac{1}{2}[/tex], montrons que  [tex]u_{n+1}\le\dfrac{1}{2}[/tex]

[tex]u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n(1-u_n)<u_n\le\dfrac{1}{2}[tex]
Donc  [tex]u_{n+1}\le\dfrac{1}{2}[/tex]

a) Initialisation
[tex]u_0=\dfrac{1}{2}\Longrightarrow u_0\ge0[/tex]

b) Hérédité
Si [tex]u_n\ge0[/tex], montrons que  [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]

[tex]u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n-u_n^2\\u_{n+1}=u_n(1-u_n)\\\\u_n\le\dfrac{1}{2}\Longrightarrow1-u_n>0[/tex]

[tex]\left\{\begin{matrix}u_n\ge0\\1-u_n>0\end{matrix}\right.\ \ \Longrightarrow u_n(1-u_n)>0[/tex]

Par conséquent  [tex]u_{n+1}\ge0[/tex]

Ces deux hérédités étant vraies pour tout n ∈ N, nous avons montré que [tex]0\le u_n\le\dfrac{1}{2}[/tex]

b) Nous savons que la suite (un) est décroissante (voir partie A) et la suite est bornée (voir point a)

La suite est donc convergente.

c) Initialisation
Par le a), [tex]u_1\le\dfrac{1}{2}<1\Longrightarrow u_1\le\dfrac{1}{1}[/tex]

Hérédité

Si [tex]u_n\le\dfrac{1}{n}[/tex], alors montrons que  [tex]u_{n+1}\le\dfrac{1}{n+1}}[/tex]

[tex]u_{n+1}=u_n-u_n^2\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n}-u_n^2\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n^2}\\\\u_{n+1}\le\dfrac{1}{n+1}[/tex]
L'hérédité étant valable pour tout naturel n non nul, nous avons bien [tex]u_n\le\dfrac{1}{n}[/tex]

[tex]\lim\limits_{n\to+\infty}\dfrac{1}{n}=0[/tex]

Par conséquent [tex]\lim\limits_{n\to+\infty}u_n=0[/tex]